题目内容

设数列{an} 满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a、c为实数，且c≠0．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设a=，c=，bn=n（a-an）（n∈N*），求数列 {bn}的前n项和Sn．
（3）设，（n∈N*），记，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜．
【答案】分析：（1）把给出的递推式移向后讨论a，当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，求出通项公式后验证a=1时成立；
（2）把数列{an} 的通项公式代入bn=n（a-an），然后利用错位相减法求数列 {bn}的前n项和Sn；
（3）把数列{an} 的通项公式代入化简，然后由放缩得到，最后通过求和证明Tn＜．
解答：（1）解：∵an+1=can+1-c，∴an+1-1=c（an-1）
∴当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，
∴，即．
当a=1时，an=1仍满足上式．
∴数列{an} 的通项公式为；
（2）解：由（1）得，当a=，c=时，
bn=n（1-an）=n{1-[1-]}=n 
∴


两式作差得


=；  
（3）证明：
dn=c2n-c2n-1=
又，∴，
当n=1时，，
当n≥2时，

．
点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列与不等式的综合，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了错位相减法求数列的前n项和，训练了放缩法求证不等式，是难题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网