Question

【题目】（1）已知f（x＋1）＝x2＋4x＋1，求f（x）的解析式．

（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9.求f（x）．

（3）已知f（x）满足2f（x）＋f ＝3x，求f（x）．

Answer 1

【答案】（1） f（x）＝x2＋2x－2（2） f（x）＝x＋3（3） f（x）＝2x－

【解析】

试题分析：（1）中求解析式采用换元法；（2）中求解析式采用待定系数法；（3）中求解析式采用方程组的方法

试题解析：（1）方法一：（换元法）设x＋1＝t，则x＝t－1，

∴f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，即f（t）＝t2＋2t－2.

∴所求函数为f（x）＝x2＋2x－2.

方法二：（配凑法）f（x＋1）＝x2＋4x＋1＝（x＋1）2＋2（x＋1）－2

∴所求函数为f（x）＝x2＋2x－2.

（2）（待定系数法）由题意，设函数为f（x）＝ax＋b（a≠0）

∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，

∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

由恒等式性质，得

∴a＝1，b＝3.

∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3.

（3）2f（x）＋f ＝3x①

将①中x换成，得2f ＋f（x）＝②

①×2－②得3f（x）＝6x－.

所以f（x）＝2x－.