Question

7．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l，依次分别交抛物线的准线、y轴、抛物线于A、B、C三点．若$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，则直线l的斜率是（　　）

• A． $-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
• B． -2或2
• C． $-2\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$
• D． -4或4

Answer 1

分析 如图所示，设直线l的方程为：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，与抛物线方程联立可得${y}^{2}-\frac{2p}{k}y-{p}^{2}$=0，解得y_C，由直线l的方程为：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，可得y_A=-pk，y_B=-$\frac{pk}{2}$．由于$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，可得y_B-y_A=2（y_C-y_B），代入解出即可．

解答 解：如图所示，
设直线l的方程为：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为${y}^{2}-\frac{2p}{k}y-{p}^{2}$=0，
解得y_C=$\frac{p（1-\sqrt{1+{k}^{2}}）}{k}$，
由直线l的方程为：$y=k（x-\frac{p}{2}）$，
可得y_A=-pk，y_B=-$\frac{pk}{2}$．
∵$\overrightarrow{{A}{B}}=2\overrightarrow{{B}C}$，
∴y_B-y_A=2（y_C-y_B），
即3y_B-y_A=2y_C，
∴$-\frac{3pk}{2}+pk=\frac{2p（1-\sqrt{1+{k}^{2}}）}{k}$，
化为k⁴-8k²=0，k≠0，
化为k²-8=0，
解得k=$±2\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．