Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求sin（x₀+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的最值，求出x₀的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
∴A=2，$\frac{T}{2}$=x₀+$\frac{π}{2}$-x₀=$\frac{π}{2}$，
即函数的周期T=π，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵函数的最高点的坐标为（x₀，2），

∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
即x₀=$\frac{π}{6}$，
则sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．