Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点是抛物线 y²=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 利用抛物线的标准方程y²=8x，可得焦点为（2，0）．进而得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得$\frac{c}{a}$=2得到a=1，再利用b²=c²-a²可得b²．进而得到双曲线的方程．

解答 解：由抛物线y²=8x，可得其焦点为（2，0）．
由题意双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点是抛物线 y²=8x的焦点，∴c=2．
又双曲线的离心率为2，∴$\frac{c}{a}$=2，得到a=1，∴b²=c²-a²=3．
∴双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查双曲线的性质与方程，考查抛物线的性质，熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．