Question

已知椭圆的离心率为，

轴被抛物线截得的线段长等于的长半轴长.
（1）求的方程；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线
与相交于两点，直线分别与相交于.   
①证明：为定值;
②记的面积为，试把表示成的函数，并求的最大值.

Answer 1

（1）
（2）利用直线与抛物线以及直线于椭圆联立方程组来求解向量的坐标，利用数量积为零来证明垂直。当，即时，

试题分析：解：（1）由已知，，      ①           
在中，令，得②
由①②得，
                           
(2)由得
设，则             
而
  
 
（3）设在上，
即，，直线方程为：代入， 得，
，同理

由（2）知，，
令，
又在时，为增函数，，
当，即时，
点评：解决的关键是利用抛物线的性质和椭圆的性质得到方程的求解，以及联立方程组来得到坐标，结合向量的数量积为零证明垂直，属于基础题。