Question

已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于5.
(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为8，求直线的方程

Answer 1

（1）点M的轨迹方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆
（2）直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．

试题分析：解：(1)由题意，得＝5．，化简，得x²＋y²－2x－2y－23＝0．即(x－1)²＋(y－1)²＝25．∴点M的轨迹方程是(x－1)²＋(y－1)²＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离，由题意，得，解得．∴直线l的方程为．即5x－12y＋46＝0．综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
点评：解决的关键是根据直接法来得到点满足的几何关系，然后坐标化得到求解，并能结合直线与圆的位置关系来得到，属于基础题。