Question

18．已知α为锐角，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角的三角函数的关系式进行求解．
（2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解．

解答 解（1）∵α为锐角，
∴0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
则tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{cos（α+\frac{π}{4}）}$=2；
（2）∵cos2（α+$\frac{π}{4}$）=2cos²（α+$\frac{π}{4}$）-1=2×（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²-1=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{2}$）=-sin2α=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
即0＜α＜$\frac{π}{4}$，则0＜2α＜$\frac{π}{2}$，则cos2α=$\frac{4}{5}$，
则sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及同角的三角函数的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．