Question

11．△ABC中，D是线段BC上的点，sin∠BAD：sin∠CAD=1：3，△ADC的面积是△ADB面积的2倍．
（1）求$\frac{sinB}{sinC}$；
（2）若AD=1，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求DC和AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AC=$\frac{2}{3}$AB，再利用正弦定理求得求得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{AC}{AB}$的值．
（2）由条件求得CD=2BD=$\sqrt{2}$，设AC=2k，则 AB=3k，△ADB中、△ADC中，分别利用余弦定理求得k的值，可得AB的值．

解答 解：（1）设∠BAD=θ，则由sin∠BAD：sin∠CAD=1：3，△ADC的面积是△ADB面积的2倍，
可得$\frac{1}{2}$•AD•AC•sin∠CAD=2•（$\frac{1}{2}$AB•AD•sin∠BAD），求得AC=$\frac{2}{3}$AB．
在△ABD中，由正弦定理可得 $\frac{AD}{sinB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$ ①，△ACD中，由正弦定理可得$\frac{AD}{sin∠C}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$ ②．
由于∠ADB 和∠ADC互补，故sin∠ADB=sin∠ADC，
由①②求得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$．
（2）∵△ADC的面积是△ADB面积的2倍，AD=1，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•AD•CD•sin∠ADC=2•（$\frac{1}{2}$AD•BD•sin∠ADB），∴CD=2BD=$\sqrt{2}$．
设AC=2k，则 AB=3k，△ABD中，由余弦定理可得
AB²=9k²=AD²+BD²-2AD•BD•cos∠ADB=1+$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$cos∠ADC ①，
△ADC中，由余弦定理可得 AC²=4k²=AD²+DC²-2AD•CD•cos∠ADC=1+2-2$\sqrt{2}$cos∠ADC②，
∴由①②求得 k=$\sqrt{\frac{6}{11}}$，∴AB=3k=3$\sqrt{\frac{6}{11}}$=$\frac{3\sqrt{66}}{11}$，AC=2k=2$\sqrt{\frac{6}{11}}$=$\frac{2\sqrt{66}}{11}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，注意边角互换，属于中档题．