Question

15．“求方程（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x=1的解”，有如下解题思路：设f（x）=（$\frac{5}{13}$）^x+（$\frac{12}{13}$）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2，类比上述解题思路，不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，把不等式变形为x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），利用函数f（x）=x³+x的单调性把该不等式转化为一元二次不等式，从而求出解集．

解答 解：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²变形为，
x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）；
令u=x²，v=x+2，
则x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）?u³+u＞v³+v；
考察函数f（x）=x³+x，知f（x）在R上为增函数，
∴f（u）＞f（v），
∴u＞v；
不等式x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）可化为
x²＞x+2，解得x＜-1或x＞2；
∴不等式的解集为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，是中档题．