Question

已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 
（Ⅱ）在上为减函数。            
（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，
即 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设则
因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数。            
（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式：  
等价于，
因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，
从而判别式
点评：中档题，本题将函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的解法综合在一起考查，注重了学生综合运用数学知识处理问题能力的考查。解答过程中，注意利用转化与化归思想，将抽象不等式问题，转化成具体不等式求解，是正确解题的关键。