Question

4．已知直角梯形ABCP如图①所示，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=AD=CD=PD；现沿AD进行翻折，使得PD⊥DC，得到如图②所示的多面体ABCDPE，其中PD∥2EC，PD=2EC，PF=BF．

（1）求证：PD⊥EF；
（2）若PD=4，求多面体ABCDPE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC与BD交于点F′，则F′为BD的中点，连接FF′，证明AC⊥PD，FE∥AC，即可证明PD⊥EF；
（2）若PD=4，利用分割法求多面体ABCDPE的体积．

解答 （1）证明：连接AC与BD交于点F′，则F′为BD的中点，连接FF′，
∵PF=BF，DF′=BF′，
∴FF′∥PD∥EC．
∵$EC=\frac{1}{2}PD$，FF′=$\frac{1}{2}PD$，
∴FF′=EC，
∴FF′CE为平行四边形，
∴FE∥F′C，
∴FE∥AC．
∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵FE∥AC，
∴FE⊥PD．
（2）解：由题意，V_ABCDPE=V_P-ABD+V_B-CEPD=$\frac{1}{3}×4×（\frac{1}{2}×4×4）$+$\frac{1}{3}×4×[\frac{1}{2}（2+4）×4]$=$\frac{32}{3}+\frac{48}{3}$=$\frac{80}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．