Question

4．设函数f（x）=1nx+$\frac{a}{{x}^{2}}$．
（1）求函数f（x）在x=1时的切线方程及函数f（x）的单凋区间；
（2）求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可，通过讨论a的范围求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的零点个数即可．

解答 解：（1）f（x）=1nx+$\frac{a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，
f′（1）=1-2a，f（1）=a，
故切线方程是：y-a=（1-2a）（x-1），
即y=（1-2a）x+3a-1；
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，
a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，
x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
故函数有1个零点，
a＞0时，f（x）的最小值是f（$\sqrt{a}$）=ln$\sqrt{a}$+1，
令ln$\sqrt{a}$+1=0，解得：a=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）_min＞0，函数无零点，
a=$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）_min=0，函数1个零点，
a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）_min＜0，函数2个零点．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．