Question

5．已知函数f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx-1．
（1）当a=b=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当b=1，a≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=0，b=-4时，方程x²+2mf（x）=0有唯一解，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求得，函数f（x）的最大值；
（2）由b=1，求导，利用导数与函数的单调性的关系，即可求得函数f（x）的单调区间；
（3）由x²+2mf（x）=0有唯一解，则y=-$\frac{1}{2m}$，则g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），有唯一交点，分类根据函数的单调性及利用洛必达法则即可求得g（x）极限，根据数形结合思想，即可求得实数m取值范围．

解答 解：（1）当a=b=1时，f（x）=2lnx-

1

2

x²-x-1，定义域为（0，+∞），
f′（x）=

2

x

-x-1=-

x2+x-2

x

=-

（x+2）（x-1）

x

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）的极大值是f（1）=-

5

2

，
∴f（x）的最大值f（x）_max=-

5

2

；
（2）当b=1，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-x-1．求导f′（x）=$\frac{2}{x}$-ax-1=-$\frac{a{x}^{2}+x-2}{x}$，（x＞0），
当a=0，令f′（x）=0，解的：x=2，
当0＜x＜2，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，2）上单调递增，
当x＞2，f′（x）＜0，f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-2，△=1+8a，
①当△=1+8a≤0时，即a≤-$\frac{1}{8}$，g（x）≤0恒成立，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当△=1+8a＞0，即-$\frac{1}{8}$＜a＜0，解得：x₂=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$＞x₁=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$＞0，
∴f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减，
综上可知：当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间（2，+∞）；
当a≤-$\frac{1}{8}$，f（x）的单调递增区间（0，+∞），
当-$\frac{1}{8}$＜a＜0，f（x）的单调递增区间（0，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$），（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$，+∞），
递减区间为（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$）；
（3）当a=0，b=-4时，f（x）=2lnx+4x-1，由x²+2mf（x）=0，
方程-2m（2lnx+4x-1）=x²，（x＞0），
显然m≠0，则-$\frac{1}{2m}$=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令y=-$\frac{1}{2m}$，则g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
求导g′（x）=$\frac{4（1-x-lnx）}{{x}^{3}}$，而h（x）=1-x-lnx在（0，+∞）单调递减，且h（1）=0，
当0＜x＜1，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=3，
由$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=-∞，
则$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{\frac{2}{x}+4}{2x}$=0，
如图当-$\frac{1}{2m}$=3，或-$\frac{1}{2m}$＜0时，则y=-$\frac{1}{2m}$，与g（x）的图象只有一个交点，
解得：m=-$\frac{1}{6}$或m＞0，
∴实数m取值范围{m丨m=-$\frac{1}{6}$或m＞0}．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求切线方程，求函数的最值等知识，注意恒成立问题的转化及构造法的运用，综合性强，属难题．