Question

10．对区间I上有定义的函数f（x），记f（I）={y|y=f（x），x∈I}，已知函数y=f（x）的定义域为[0，3]，自变量x与因变量y一一对应，且f（[1，2]）=[0，1），f（[0，1]）=[2，4），若方程f（x）-x=0有解x₀，则x₀=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答 解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；
所以当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）-x=0有解x₀，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故选B．

点评 本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．