Question

如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于B₁、C₁．将△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使点A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是线段BC的中点M．求：
（1）二面角A₁-B₁C₁-M的大小；
（2）异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小．（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）连接AM、A₁G，根据二面角平面角的定义可知∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角，在Rt△A₁GM中求出此角即可；
（2）B₁作C₁C的平行线交BC于点P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角，在△A₁B₁P中利用余弦定理可求得∠A₁B₁P的大小．

解答：解：（1）连接AM、A₁G．
∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，
∴A、G、M三点共线，AM⊥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥AM于点G，
即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁．
∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角．
∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，
∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°．
在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM，得∠A₁GM=60°，
即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°．
（2）过B₁作C₁C的平行线交BC于点P，
则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角．
由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P=C₁C=1=BP，
PM=BM-BP=

1

2

，A₁B₁=AB₁=2．
∵A₁M⊥面BB₁C₁C于点M，
∴A₁M⊥BC，∠A₁MP=90°．
在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G•sin60°=

3

•

3

2

=

3

2

．
在Rt△A₁MP中，A₁P²=A₁M²+PM²=（

3

2

）²+（

1

2

）²=

5

2

．
在△A₁B₁P中，由余弦定理得
cos∠A₁B₁P=

A1B12+B1P2-A1P2

2•A1B1•B1P

=

22+12- 5 2

2•2•1

=

5

8

，
∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos

5

8

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．