题目内容
如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A— DEF ．
(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值
(Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上，
(λ＞O，λ为变量)
①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明你的结论②设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β 的值
【答案】
(I) 
；
(Ⅱ) ①λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段
②
【解析】（Ⅰ）如图，取DE的中点G，连接AG、FG
由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角
由题意得AG=FG=
．在△AGF中，
∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为
（Ⅱ）（1）λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段
当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，
则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段．
（2）过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ．
由MH∥DF，得
，∴
∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ．
∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN
由题意得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O．
∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF
又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH=
，∴
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