Question

1．已知正数a，b满足5-3a≤b≤4-a，lnb≥a，则$\frac{b}{a}$的取值范围是[e，7]．

Answer 1

分析 由题意可求得$\frac{b}{a}$≤7；由lnb≥a可得$\frac{b}{a}$≥$\frac{b}{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），设函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x≥${e}^{\frac{1}{2}}$），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是$\frac{b}{a}$的最小值，于是问题解决．

解答 解：∵正数a，b满足5-3a≤b≤4-a，
∴5-3a≤4-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$．
∵5-3a≤b≤4-a，
∴$\frac{5}{a}$-3≤$\frac{b}{a}$≤$\frac{4}{a}$-1．
从而$\frac{b}{a}$≤7，
∵lnb≥a，∴$\frac{b}{a}$≥$\frac{b}{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），
设f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x≥${e}^{\frac{1}{2}}$），则f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）=e．
∴$\frac{b}{a}$≥e，
∴$\frac{b}{a}$的取值范围是[e，7]．
故答案为：[e，7]．

点评 本题考查不等式的综合应用，得到$\frac{b}{a}$≥$\frac{b}{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），通过构造函数求$\frac{b}{a}$的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．