Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

Answer 1

【答案】分析：解法（一）：
（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D₁E⊥A₁D总是成立的．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD₁的距离．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，
则∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）．
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD₁的法向量为，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为．
（3）设平面D₁EC的法向量，可求得．，因为二面角D₁-EC-D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为．
解答：解法（一）：
（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，
故．∴，
∴，∴．
（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角．
设AE=x，则BE=2-x在Rt△D₁DH中，∵，∴DH=1．
∵，∴在Rt△DHE中，EH=x，．
∴．
∴．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD₁的法向量为，
则也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为．
（3）设平面D₁EC的法向量，
∴，
由令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴．
依题意．
∴（不合，舍去），．
∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为．
点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．