题目内容
20．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）-f（x2）]2＞[g（x1）-g（x2）]2恒成立．则（ ）| A． | F（x），G（x）都是增函数 | B． | F（x），G（x）都是减函数 | ||
| C． | F（x）是增函数，G（x）是减函数 | D． | F（x）是减函数，G（x）是增函数 |
分析 根据题意，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，可得出f（x1）-f（x2）＞g（x1）-g（x2），且f（x1）-f（x2）＞-g（x1）+g（x2），
根据单调性的定义证明即可．
解答 解：对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）-f（x2）]2＞[g（x1）-g（x2）]2恒成立，
不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，
∴f（x1）-f（x2）＞g（x1）-g（x2），且f（x1）-f（x2）＞-g（x1）+g（x2），
∴F（x1）=f（x1）+g（x1），F（x2）=f（x2）+g（x2），
∴F（x1）-F（x2）=f（x1）+g（x1）-f（x2）-g（x2）
=f（x1）-f（x2）-（g（x2）-g（x1）＞0，
∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数，
故选A．
点评 考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．
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