Question

14．己知数列{a_n}满足：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≥{a}_{1}}\\{{a}_{n}+2，}&{{a}_{n}＜{a}_{1}}\end{array}\right.$（n=1，2，…），若a₃=3，则a₁=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式结合a₃=3分类求得a₁．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，}&{{a}_{n}≥{a}_{1}}\\{{a}_{n}+2，}&{{a}_{n}＜{a}_{1}}\end{array}\right.$，
①若a₃≥a₁，则a₃=3=2a₂，${a}_{2}=\frac{3}{2}$，又a₂＜a₁与a₂=a₁+2相矛盾，
∴a₂≥a₁，${a}_{2}=\frac{3}{2}=2{a}_{1}$，得${a}_{1}=\frac{3}{4}$；
②若a₃＜a₁，则a₃=a₂+2，∴a₂=1，
由a₂=1=2a₁，a₁=$\frac{1}{2}$，与a₃＜a₁不符．
∴${a}_{1}=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．