Question

【题目】（本题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求出的极值；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在内恒成立，试确定的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）实数的取值范围是；

（Ⅱ）极大值，极小值；（Ⅲ），的取值范围是．

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求出函数的导函数，再由函数的单调性得到在内恒成立，最后由分离参数法求出实数的取值范围；

（Ⅱ）根据导函数的符号确定函数的单调区间与极值点，进而求出函数的极大值与极小值．

（Ⅲ）设，则在内恒成立

等价于结合（I）的结果，利用导数判断函数的单调性，并出其最大值，从而求出的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）解：函数的定义域为，

则， 1分

因为函数在内是增函数，

所以在内恒成立 2分

所以， 在内恒成立 3分

因为当时， ，当且仅当，即时， 等号成立，

所以实数的取值范围是． 5分

（Ⅱ）解：当时， 7分

当变化时， ， 的变化情况如下：

				1
	+	0	-	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以， 在处取得极大值，

在处取得极小值． 9分

（Ⅲ）解：设

10分

则11分

由（I）可知，且，故，

所以在内为增函数 12分

因为，即，

所以，的取值范围是14分