Question

4．如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{7}{8}$
• B． -$\frac{7}{8}$
• C． -$\frac{7}{25}$
• D． $\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 利用中位线作出异面直线所成的角，然后在三角形中利用余弦定理求出余弦值即可．
连结ND，取ND 的中点为E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC．

解答 解：由题意：三棱锥ABCD中，连结ND，取ND 的中点为E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC．
∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，
∴AN=$2\sqrt{2}$，ME=EN=$\sqrt{2}$，MC=2$\sqrt{2}$，
又∵EN⊥NC，∴EC=$\sqrt{N{C}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
cos∠EMC=$\frac{M{C}^{2}+M{E}^{2}-E{C}^{2}}{2MC•ME}$=$\frac{2+8-3}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{7}{8}$．
∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值是$\frac{7}{8}$．
故选A．

点评 本题考查了异面直线所成的角，余弦定理的应用，属于基础题．