Question

已知△ABC是边长为l的等边三角形，D、E分别是AB、AC边上的点，AD = AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中．
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当时，求三棱锥F－DEG的体积V．

Answer 1

（1）证明见解析  （2）证明见解析  （3）

试题分析：(1)在等边三角形中，由,可得,在折叠后的三棱锥中也成立，故有,再根据直线和平面平行的判定定理证的平面.
（2）在等边中，是的中点，所以，折叠后可证得,且.在三棱锥中，由，由勾股定理可得，从而,故可证得平面.
（3）由（1）可知,再结合（2）可得平面.最后再由,运算可求得结果.
试题解析：(1)证：在等边中，，∴
在折叠后的三棱锥中也成立，∴
∵在平面外，在平面内，∴平面.
(2)证：在等边中，是的中点，所以，折叠后，
∵ 在中，，
∴，因此
又相交于，∴平面．
(3)解：由(1)可知，结合(2)可得：平面，∴
当时，
∴.