Question

8．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x∈[-1，2]}\\{8-2x，x∈（2，4]}\end{array}}\right.$，则f（log₂3）=3，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log₂$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$]或1．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质求出f（log₂3）的值即可；画出函数f（x）的图象，结合图象以及函数的范围，得到关于t的不等式组，解出即可．

解答 解：f（${log}_{2}^{3}$）=${2}^{{log}_{2}^{3}}$=3，
画出函数f（x）的图象，如图示：
若f（x）=0，x=4，若f（x）=1，则2^x=1或8-2x=1，
解得：x=0或x=$\frac{7}{2}$，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{t}≥\frac{7}{2}}\\{8-2t≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$即可，
解得：${log}_{2}^{\frac{7}{2}}$≤t≤$\frac{9}{4}$，
t=4时：f（4）=0，f（0）=1，
故答案为：[${log}_{2}^{\frac{7}{2}}$，$\frac{9}{4}$]或4．

点评 本题考查了分段函数问题，考查对数函数的性质，复合函数的性质，是一道中档题．