Question

某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）根据各组的频率和等于1，利用1将去已知各组的频率，从而可求出第四组的频率，画出直方图即可；
（2）依题意，累加60分以上各组的频率和，可估计出及格率，累加各组组中值与频率的积，查估算抽样学生的平均分；
（3）分别求出从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的取法总数，和满足这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10取法数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3．
再由组距为10，故第四组的矩形高为：0.3÷10=0.03，
其频率分布直方图如图所示．

（2）依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，估计这次考试的合格率是75%．
利用组中值估算这次考试的平均分为
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
所以估计这次考试的平均分是71分．
（3）数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生分别有：0.01×10×60=6，0.005×10×60=3，
从中选取两名学生，共有

C

2 9

=36种不同取法，
若这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，表示这个同学取自同一段，
共有

C

2 6

+C

2 3

=18种方法，
故这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为：

18

36

=

1

2

点评：本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，属于中档题．