Question

19．已知在二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{\root{3}{x}}}$）ⁿ的展开式中，各项的二项式系数之和为32，且常数项为80，则n的值为5，实数a的值为-2．

Answer 1

分析 由题意可得：2ⁿ=32，解得n，再利用通项公式即可得出．

解答 解：由题意可得：2ⁿ=32，解得n=5．
∴$（\sqrt{x}-\frac{a}{\root{3}{x}}）^{5}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}$$（\sqrt{x}）^{5-r}$$（-\frac{a}{\root{3}{x}}）^{r}$=（-a）^r${∁}_{5}^{r}$${x}^{\frac{5}{2}-\frac{5r}{6}}$，
令$\frac{5}{2}-\frac{5r}{6}$=0，解得r=3．
∴$（-a）^{3}{∁}_{5}^{3}$=80，即-a³=8，解得a=-2．
故答案分别为：5；-2．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．