题目内容

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 $数学公式$ ，则椭圆离心率的范围是________．

$\text{[math]}$ ＜e＜1
分析：利用两个向量的数量积公式得到（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，e²= $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ＜e²＜1，
从而求得离心率的范围．
解答：设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．
由题意得， $\text{[math]}$ =0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b²sin²t=0，化简可得 c²cos²t-a²cost+a²-c²=0，
∴e²cos²t-cost+1-e²=0，∴e²= $\text{[math]}$ ．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴ $\text{[math]}$ ＜e²＜1，∴ $\text{[math]}$ ＜e＜1，
故答案为 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，得到e²= $\text{[math]}$ 是解题的关键．