Question

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=

π

2

，则椭圆离心率的范围是

 

．

Answer 1

分析：利用两个向量的数量积公式得到（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，e²=

1

1+cost

，得到

1

2

＜e²＜1，
从而求得离心率的范围．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．
 由题意得，

PO

 •

PA

=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b²sin²t=0，化简可得 c²cos²t-a²cost+a²-c²=0，
∴e²cos²t-cost+1-e²=0，∴e²=

1

1+cost

．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴

1

2

＜e²＜1，∴

2

2

＜e＜1，
故答案为

2

2

＜

c

a

＜1．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，得到e²=

1

1+cost

是解题的关键．