Question

若f（1）=lg

1

a

，且当x≥2时，满足f（x-1）=f（x）-lga^x-1（a＞0，x∈N），则函数f（x）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用累加法，及恒等式：f（x）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（x）-f（x-1）]
，再求和，即可求出函数的解析式．

解答： 解：∵f（1）=lg

1

a

，且当x≥2时，满足f（x-1）=f（x）-lga^x-1（a＞0，x∈N），
∴f（1）=-lga，f（x-1）=f（x）-（x-1）•lga，
∴f（x）-f（x-1）=（x-1）•lga，
∴f（x）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（x）-f（x-1）]
=（-lga）+lga+2lga+3lga+…+（x-1）lga
=

(x+1)•(x-2)

2

•lga
即f（x）=

(x+1)•(x-2)

2

•lga．
故答案为：

(x+1)•(x-2)

2

•lga．

点评：本题主要考查抽象函数及应用，考查函数解析式的求法：累加法，是一道基础题．