Question

P是椭圆上的点，F₁、F₂是两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值与最小值之差是_____

Answer 1

5

分析：由题意，设|PF₁|=x，故有|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
其中3-≤x≤3+。根据 函数y=-x²+6x在（3-，3）上单调递增，(3，3+)上单调递减，可求y=-x²+6x的最小值与最大值，从而可求|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差。
解答：
由题意，设|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵椭圆c=，a=3
∴3-≤x≤3+
∵函数y=-x²+6x在（3-，3）上单调递增，(3，3+)上单调递减，
∴x=3-时，y=-x²+6x取最小值(3-)(3+)=4，
x=3时，y=-x²+6x取最大值为9，
∴|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为：5
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题。