Question

设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x??c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（      ）

A. B.    C. ??1   D. 1

Answer 1

C

解析:

令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x??c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x??c)=1，由此得。

一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x??c)=1可化为

，即

，所以

。

由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，

若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=??1。由(1)、(3)知，所以。