Question

若等差数列{a_n}中，公差d＞0，前n项和为S_n，且a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过b_n=

Sn

n+c

构造一个新数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）在（2）中，求f（n）=

bn

(n+30)•bn+1-62n

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的函数特性

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）等差数列{a_n}中，由公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=

Sn

n+c

，令c=

1

2

，可得结论；
（3）f（n）=

bn

(n+30)•bn+1-62n

，确定其单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴（a₁+2d）（a₁+2d）=45，a₁+a₁+3d=14
∵d＞0，
∴a₁=1，d=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3；
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=2n(n-

1

2

)，bn=

Sn

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

，即得b_n=2n，{b_n}为等差数列．
∴存在c=-

1

2

，使{b_n}也为等差数列．
（3）f(n)=

bn

(n+30)•bn+1-62n

=

n

(n+30)(n+1)-31n

=

1

n+ 30 n

，
∴f（n）在[1，5]递增；f（n）在[6，+∞）n∈N^*递减；
∴f（n）_min=f（5）=f（6）=

1

11

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与求和，考查了数列的函数特性，训练了配方法求函数最值，是中档题．