Question

3．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，满足$\overrightarrow{a}$=（1，3），$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$，则$|{\overrightarrow b}|$=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设出$\overrightarrow{b}$的坐标，求得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，结合$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$列式求解．

解答 解：设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，又$\overrightarrow{a}$=（1，3），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（x+1，y+3）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（1-x，3-y）$．
由$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$，得（1-x）（1+x）+（3+y）（3-y）=0，
即10-x²-y²=0，得x²+y²=10．
∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．