Question

3．已知G，N，P在△ABC所在平面内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且分别满足$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，sin2A•$\overrightarrow{NA}$+sin2B•$\overrightarrow{NB}$+sin2C•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$，则点G，N，P依次是△ABC的（　　）

• A． 重心，外心，内心
• B． 重心，垂心，内心
• C． 重心，垂心，外心
• D． 内心，外心，重心

Answer 1

分析 假设三角形内一点O分别为内心，外心，重心，利用结论S_△BOC$•\overrightarrow{OA}$+S_△AOC$•\overrightarrow{OB}$+S_△AOB$•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$推导变形验证．

解答 解：（1）取AC中点D，连结GD，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=2$\overrightarrow{GD}$，∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GB}$．

∴2$\overrightarrow{GD}$=-$\overrightarrow{GC}$．∴G在△ABC的中线BD上，同理可得G在其它两边的中线上，
∴G是△ABC的重心．
（2）∵S_△BCN•$\overrightarrow{NA}$+S_△ACN•$\overrightarrow{NB}$+S_△ABN$•\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$

∴当N是△ABC的外心时，设外接圆半径为r，
则S_△BCN=$\frac{1}{2}sin∠$BNC•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠BAC，
S_△ACN=$\frac{1}{2}$sin∠ACN•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ABC，
S_△ABN=$\frac{1}{2}$sin∠ANB•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ACB．
∴sin2∠BAC•$\overrightarrow{NA}$+sin2∠ABC•$\overrightarrow{NB}$+sin2∠ACB•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$．
（3）延长CP交AB于D，则$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$，

∵a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$，
∴a（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$）+b（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$）+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
设$\overrightarrow{PD}$=k$\overrightarrow{PC}$，则（ka+kb+c）$\overrightarrow{PC}$+（ a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{DA}$与$\overrightarrow{DB}$共线，$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DB}$不共线，
∴ka+kb+c=0，a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\frac{DA}{DB}$=-$\frac{b}{a}$，
∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．
∴P是△ABC的内心．
综上，G是三角形的重心，N是三角形的外心，P是三角形的内心．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，记住三角形内一点的一般结论是解题关键，属于中档题．