数字1.2.3.-.n的任意一个排列记作(a1.a2.-.an).设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An={(a1.a2.-.an)∈Sn|任意整数i.j.1≤i＜j≤n.都有ai+i≤aj-j},集合Bn={(a1.a2.-.an}∈Sn|任意整数i.j.1≤i＜n.都有ai+i≤aj+j}．(Ⅰ)用列举法表示集合A3.B3(Ⅱ)求集合An∩Bn的元素个数,(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a₁，a₂，…，a_n），设S_n为所有这样的排列构成的集合．集合A_n={（a₁，a₂，…，a_n）∈S_n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a_i+i≤a_j-j}；集合B_n={（a₁，a₂，…，a_n}∈S_n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a_i+i≤a_j+j}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A₃，B₃
（Ⅱ）求集合A_n∩B_n的元素个数；
（Ⅲ）记集合B_n的元素个数为b_n．证明：数列{b_n}是等比数列．

分析（Ⅰ）集合A₃属于单调递增排列，集合B₃属于实数对，利用列举法表示集合A₃，B₃即可；
（Ⅱ）根据题意知A_n={（1，2，3，…，n）}、（1，2，3，…，n）∈B_n，所以A_n⊆B_n．所以集合A_n∩B_n的元素个数为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n≠0．因为B₂={（1，2），（2，1）}，所以b₂=2．当n≥3时，考虑B_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
分类讨论：（1）假设a_k=n（1≤k＜n）．由已知，a_k+k≤a_k+1+（k+1），
依此类推，若a_k=n，则a_k+1=n-1，a_k+2=n-2，…，a_n=k．
①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1个．
②若k=2，则a₂=n，a₃=n-1，a₄=n-2，…，a_n=2．
③若2＜k＜n，
（2）假设a_n=n，只需（a₁，a₂，a₃，…a_n-1）是1，2，3，…，n-1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_n-1个．
结合等比数列的定义进行证明．

解答解：（Ⅰ）A₃={（1，2，3）}，B₃={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．
（Ⅱ）考虑集合A_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a_i-i≤a_j-j，
所以（a_i-i）+i＜（a_j-j）+j，
所以a_i＜a_j．
由i，j的任意性可知，（a₁，a₂，a₃，…，a_n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，
所以A_n={（1，2，3，…，n）}．
又因为当a_k=k（k∈N^*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，
都有a_i+i≤a_j+j．
所以（1，2，3，…，n）∈B_n，所以A_n⊆B_n．
所以集合A_n∩B_n的元素个数为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n≠0．
因为B₂={（1，2），（2，1）}，所以b₂=2．
当n≥3时，考虑B_n中的元素（a₁，a₂，a₃，…，a_n）．
（1）假设a_k=n（1≤k＜n）．由已知，a_k+k≤a_k+1+（k+1），
所以a_k+1≥a_k+k-（k+1）=n-1，
又因为a_k+1≤n-1，所以a_k+1=n-1．
依此类推，若a_k=n，则a_k+1=n-1，a_k+2=n-2，…，a_n=k．
①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1个．
②若k=2，则a₂=n，a₃=n-1，a₄=n-2，…，a_n=2．
所以a₁=1．
此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有1个．
③若2＜k＜n，
只要（a₁，a₂，a₃，…a_k-1）是1，2，3，…，k-1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．
此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_k-1个．
（2）假设a_n=n，只需（a₁，a₂，a₃，…a_n-1）是1，2，3，…，n-1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a₁，a₂，a₃，…，a_n）有b_n-1个．
综上b_n=1+1+b₂+b₃+…+b_n-1，n≥3．
因为b₃=1+1+b₂=4=2b₂，
且当n≥4时，b_n=（1+1+b₂+b₃+…+b_n-2）+b_n-1=2b_n-1，
所以对任意n∈N^*，n≥3，都有$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=2$．
所以{b_n}成等比数列．