Question

6．若tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{3}{2}$，α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），则sin（2α+$\frac{π}{4}}$）的值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{10}$

Answer 1

分析 由已知求得tanα，再由万能公式求出sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦即可．

解答 解：由tanα-$\frac{1}{tanα}=\frac{3}{2}$，得2tan²α-3tanα-2=0，即tanα=2或tanα=$-\frac{1}{2}$．
∵α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），∴tanα=2．
则sin2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{2×2}{1+{2}^{2}}=\frac{4}{5}$，cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$．
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查学生的计算能力，是基础题．