Question

已知向量

a

=（-

3

cosmx，0），向量

b

=（sinmx，0），函数f（x）=|

a

|2+

a

•

b

的最小正周期为2，其中m＞0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求当x∈[-2，0]时f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量的数量积运算及三角恒等变换可把f（x）化为Acos（ωx+φ）的形式，然后利用周期公式可得ω，从而得m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

3

cos（πx+

π

6

）+

3

2

，令2kπ-π≤πx+

π

6

≤2kπ，解得x的范围，根据所给x的范围可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=(-

3

cosmx，0)，向量

b

=(sinmx，0)，
∴f(x)=3cos2(mx)-

3

sinmxcosmx=3×

1+cos2mx

2

-

3

2

sin2mx
=

3cos2mx- 3 sin2mx

2

+

3

2

=

3

(

3

2

cos2mx-

1

2

sin2mx)+

3

2

=

3

cos(2mx+

π

6

)+

3

2

，
∵T=

2π

2m

=2，∴m=

π

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

3

cos（πx+

π

6

）+

3

2

，
令2kπ-π≤πx+

π

6

≤2kπ，解得2k-

7

6

≤x≤2k-

1

6

，
当k=0，x∈[-

7

6

，-

1

6

]，满足题意；k=1，x∈[

5

6

，

11

6

]，不满足题意；k=-1，x∈[-

19

6

，-

13

6

]，不满足题意；k取其它整数，也不满足x∈[-2，0]，
∴x∈[-2，0]时，f（x）的单调递增区间为[-

7

6

，-

1

6

]．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、三角恒等变换，考查三角函数的周期，考查学生分析解决问题的能力．