Question

命题p₁：若函数f（x）=

1

x-a

在（-∞，0）上为减函数，则a∈（-∞，0）；命题p₂：x∈（-

π

2

，

π

2

）是f（x）=tanx为增函数的必要不充分条件；命题p₃：“a为常数，?x∈R，f（x）=a²x²+ax+1＞0”的否定是“a为变量，?x∈R，f（x）=a²x²+ax+1≤0”．以上三个命题中，真命题的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、0
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由于函数f(x)=

1

x-a

在区间（-∞，a）上是减函数，则（-∞，0）⊆（-∞，a），可求出a的范围，即可判断p₁；由正切函数的单调性和充分必要条件的定义，可判断p₂；由命题的否定，即可判断p₃．

解答： 解：命题p₁：函数f(x)=

1

x-a

在区间（-∞，a）上是减函数，在区间（a，+∞）上为减函数，
若函数在区间（-∞，0）上为减函数，则（-∞，0）⊆（-∞，a）⇒a∈[0，+∞），
所以命题p₁为假命题；
命题p₂：x∈(-

π

2

，

π

2

)⇒f（x）=tanx为增函数，f（x）=tanx为增函数⇒x∈(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)，(k∈Z)不能推出 x∈(-

π

2

，

π

2

)，所以命题p₂是假命题；
命题p₃：a为常数是命题的总前提不能否定，所以命题p₃是假命题．
故三个命题均为假命题，
故选：C．

点评：本题考查简易逻辑的基础知识：命题的否定和充分必要条件的判断，同时考查函数的单调性及运用，属于基础题．