Question

已知曲线C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的离心率为e=

1+ 1 n2

．
（1）求a_n；
（2）令b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,双曲线的简单性质

专题：等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由曲线C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）可得a=a_n，b=1，再利用离心率计算公式e=

c

a

=

1+ b2 a2

即可得出．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出T_n．即可证明．

解答： （1）解：由曲线C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）可得a=a_n，b=1，
又离心率为e=

1+ 1 n2

，∴

1+ 1 n2

=

1+ 1 a 2 n

，解得a_n=n．
（2）证明：b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴T_n＜1．

点评：本题考查了双曲线的离心率计算公式、数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的证明，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．