Question

设函数=（为自然对数的底数），，记．
（1）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明；
（2）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）在上单调递增．（2）实数a的取值范围是（0，2）。

试题分析：（1），∴，
令，则，
∴在上单调递增，即在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，而，
∴有唯一解，
的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

 
又∵函数有两个零点，
∴方程有两个根，即方程有两个根 
而，，
解得．
所以，若函数有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）
点评：中档题，利用导数研究函数单调区间，进一步判断函数零点情况，提供了解答此类问题的一般方法。