Question

12．若函数f（x）=x²+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则关于x的方程x²+2alnx-2ax=0解的个数是1．

Answer 1

分析 由题意可得，存在x＜0使f（-x）-g（x）=0，即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在（-∞，0）上有零点，从而求解．

解答 解：若函数f（x）=x²+ln（x+a）（a＞0）与g（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，
则等价为g（x）=f（-x），在x＜0时，方程有解，
即x²+e^x-$\frac{1}{2}$=x²+ln（-x+a），即e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解，
令m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a），
则m（x）=e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）在其定义域上是增函数，且x→-∞时，m（x）＜0，
∵a＞0∴e^x-$\frac{1}{2}$-ln（-x+a）=0在（-∞，0）上有解可化为：e⁰-$\frac{1}{2}$-lna＞0，
即lna＜$\frac{1}{2}$，故0＜a＜$\sqrt{e}$．
令h（x）=x²+2alnx-2ax，
${h^'}（x）=2x+\frac{2a}{x}-2a=\frac{2}{x}（{x^2}-ax+a）$，
∵a²-4a＜0，∴h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x→0时，h（x）→-∞，x→+∞时，h（x）→+∞，
∴h（x）=0有一个解，
故答案为：1．

点评 本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．