Question

3．如图，四棱猪ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A₁A=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（1）证明：B₁C₁⊥CE；
（2）求二面角B₁-CE-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA₁两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$和$\overrightarrow{CE}$，由$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=0得到B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B₁CE和平面CEC₁的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B₁-CE-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）∵四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD
AD=CD=1，A₁A=AB=2，E为棱AA₁的中点．
∴以点A为原点，AD，AA₁，AB分别为x，y，zlm，建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
则$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，-1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CE}$=（1，0，-1）•（-1，1，-1）=0．
∴B₁C₁⊥CE．
解：（2）解：$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（1，-2，-1），
设平面B₁CE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=x-2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=-3，y=-2．∴$\overrightarrow{m}$=（-3，-2，1）．
由（Ⅰ）知B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面CEC₁，
故$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（1，0，-1）为平面CEC₁的一个法向量，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{14}×\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角B₁-CE-C₁的平面角为锐角，
∴二面角B₁-CE-C₁的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．