Question

4．已知函数f（x）=ax（lnx-1）（a∈R且a≠0）．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当a＞0时，设函数g（x）=$\frac{1}{6}$x³-f（x），函数h（x）=g′（x），若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调递增区间即可；
（2）求出h（x）的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，解关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=a[{（{lnx-1}）+x•\frac{1}{x}}]=alnx$，令f'（x）＞0，
当a＞0时，解得x＞1；当a＜0时，解得0＜x＜1，
所以当a＞0时，函数y=f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；
当a＜0时，函数y=f（x）的单调递增区间是（0，1）．
（2）∵h（x）=g′（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，由题意得h（x）_min≥0，
因为h′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，
所以当x∈（0，$\sqrt{a}$）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当$x∈（\sqrt{a}，+∞）$时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
∴h（x）_min=h（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a-aln$\sqrt{a}$，
由$\frac{1}{2}a-aln\sqrt{a}≥0$，得lna≤1，解得0＜a≤e，
所以实数a的取值范围是（0，e]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．