Question

8．已知$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，则f （x）（　　）

• A． 是偶函数，而非奇函数
• B． 既是奇函数又是偶函数
• C． 是奇函数，而非偶函数
• D． 是非奇非偶函数

Answer 1

分析 先求出函数的定义域关于原点对称，再根据在函数的定义域内，f（-x）=-f（x）恒成立，可得函数为奇函数．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}≥0}\\{|x+3|≠3}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜0，或0＜x＜1，
故函数的定义域为{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1 }，关于原点对称，
再根据f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|-x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|x-3|-3}$≠-f（x），
当0＜x＜1时，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
当-1＜x＜0时，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
故在函数的定义域内，f（-x）=-f（x）恒成立，故函数为奇函数，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于中档题．