Question

双曲线＝1的一支上不同三点A(x₁，y₁)，B(，6)，C(x₂，y₂)与焦点F(0，5)的距离成等差数列

(1)求y₁＋y₂的值；

(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出该点坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)双曲线＝1的上准线为l：y＝ 　　设A、B、C三点到l的距离分别为d1、d2、d3 　　∵A(x1，y1)、B(，6)、C(x2，y2)在双曲线的同一支上 　　∴y1≥，y2≥ 　　∴d1＝y1－，d2＝，d3＝y2－ 　　又|AF|＝ed1，|BF|＝ed2，|CF|＝ed3 　　由题意得2ed2＝ed1＋ed3 　　∴＝y1－＋y2－ 　　∴y1＋y2＝12 　　(2)由(1)可设AC中点为Q(x0，6) 　　则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝12 　　由题意得两式相减得 　　＝0 　　∴ 　　∴线段AC的垂直平分线的方程为y－6＝·(x－x0) 　　即13x＋x0(2y－25)＝0 　　∴恒过定点(0，)．