Question

某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，用每天的最大值作为当天的污染指数，记作.
(1)令，，求的取值范围；
(2)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？

Answer 1

（1）的取值范围是；（2）当时，污染指数不超标；当时，污染指数超标.

试题分析：（1）从的表达式可知，可以考虑利用基本不等式求的取值范围，首先讨论当当时，，而当时：，
当且仅当，即时取等号，而显然，因此的取值范围是；（2）根据条件结合（1）分析可知，可将污染指数转化为与有关的函数，利用（1）中求得的的取值范围，可知，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最大值只可能在或时取到，通过比较可知，从而若市中心的污染指数未超标，则等价于，解关于的不等式组，从而可以得到相应结论：当时，污染指数不超标；当时，污染指数超标.
试题解析：（1）当时：，                          1分
当时：，        4分
当且仅当，即时取等号，        5分 而显然，
综上所述，的取值范围是；            6分
（2）记，，则，    8分
显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最大值只可能在或时取到，
而，∵，∴，
∴，∴，            11分
由得，                13分
故当时，污染指数不超标；当时，污染指数超标.            14分