题目内容

【题目】对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.

（1）已知数列：1，，是“K数列”，求实数m的取值范围；

（2）是否存在首项为-1的无穷等差数列为“K数列”，且其前n项和满足：，若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；

（3）已知各项均为正整数的等比数列（至少有4项）为“K数列”，数列不是“K数列”，若，是否存在，使为“K数列”？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）这样的等差数列不存在，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

(1)直接根据“K数列”的定义列出关于的不等式求解即可.

(2) 假设存在等差数列符合要求,设公差为d,再求得,再利用分析公差满足的条件是否能够成立即可.

(3) 设数列的公比为q,,再根据等比数列为“K数列”,数列不是“K数列”求出前两项的关系,再根据前两项的关系分情况讨论是否能够满足为“K数列”即可.

(1)由题意得,①,②

解①得；解②得或.

所以,故实数m的取值范围是.

(2)假设存在等差数列符合要求,设公差为d,则,

由,得,

由题意,得对均成立,

即.

①当时,；

②当时,,

因为,

所以,与矛盾,

故这样的等差数列不存在.

(3)设数列的公比为q,则,

因为的每一项均为正整数,且,

所以,且.

因为,

所以在中,“”为最小项,

同理,在中,为最小项.

由为“K数列”,只需,即,

又因为不是“K数列”,且“”为最小项,所以,即,

由数列的每一项均为正整数,可得,

所以,或,,

①当,时,,则,

令,则,

又,

所以为递增数列,即,

所以,

因为,

所以对任意的,都有,

即数列为“K数列”.

②当,时,,则.因为,

所以数列不是“K数列”.

综上：当时,数列为“K数列”,

当时,数列不是“K数列”.

练习册系列答案
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