Question

【题目】已知，为椭圆：的左、右焦点，离心率为，且椭圆的上顶点到左、右顶点的距离之和为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，若以为直径的圆过，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）：.

【解析】

（1）由已知可知和，再根据，求椭圆方程；

（2）分斜率和两种情况讨论，当时，设直线：，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，，，若满足条件有，写成坐标表示的形式，求.

（1）设椭圆的焦距为，椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，由椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为，所以，即，解得，所以，故椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，.设，.

若直线斜率为0时，弦为椭圆长轴，故以为直径的圆不可能过，所以不成立；

若直线斜率不为0时，设直线：，代入椭圆方程得：

，易知且，.

故以为直径的圆过，则有，

∴

，∴.

综上可知，：.