Question

已知实数x，y满足x≥1，y≥1，（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²），当a＞1时，求log_a（xy）的取值范围．

Answer 1

∵x≥1，y≥1，a＞1，
∴（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²）可变形为
（log_ax）²+（log_ay）²=log_aa+2log_ax+log_aa+2log_ay，
即（log_ax）²+（log_ay）²-2log_ax-2log_ay-2=0，
即（log_ax+log_ay）²-2log_ax•log_ay-2（log_ax+log_ay）-2=0
设log_ax=m，log_ay=n，则m≥0，n≥0，且（m+n）²-2mn-2（m+n）-2=0，
即（m-1）²+（n-1）²=4（m≥0，n≥0）
令k=m+n，则n=-m+k，结合判别式法与代点法得
1+

3

≤log_a（xy）≤2+2

2

所以1+

3

≤log_a（xy）≤2+2

2